Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038682

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит $x-2\neq 0$, то есть $x\neq 2$.

Упрощаем дробь. В числителе вынесем $0{,}5x$: $$0{,}5x^{2}-x=0{,}5x(x-2),$$ ведь $0{,}5\cdot 2=1$. Тогда скобка $(x-2)$ сокращается: $$y=\dfrac{0{,}5x(x-2)\cdot|x|}{x-2}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq 2.$$

Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0{,}5x^{2}$ — правая половина параболы, ветвь вверх (например, $x=4$ даёт $y=8$);
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0{,}5x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-4$ даёт $y=-8$).

Половинки сходятся в точке $(0;0)$, и получается одна непрерывно возрастающая кривая от $-\infty$ до $+\infty$. Каждое значение $y$ такая линия принимает ровно один раз.

Выколотая точка: при $x=2$ формула дала бы $y=0{,}5\cdot 2\cdot 2=2$, но $x=2$ в область определения не входит. Значит точка $(2;2)$ выколота.

Прямая $y=m$ пересекает такую кривую ровно один раз при любом уровне. Ни одной общей точки не окажется только тогда, когда это единственное пересечение попадает в дырку, то есть при $m=2$.