Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038681

Ключевая идея: $x^{2}=|x|^{2}$. Тогда знаменатель раскладывается на множители: $$|x|-2x^{2}=|x|-2|x|^{2}=|x|\,(1-2|x|),$$ а числитель — та же скобка со знаком минус: $2|x|-1=-(1-2|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-2|x|)}{|x|\,(1-2|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Сокращать можно только на ненулевые выражения, поэтому запоминаем запреты: $x\neq 0$ и $1-2|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq 0{,}5$, значит $x\neq 0{,}5$ и $x\neq -0{,}5$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ получается $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Две ветви симметричны относительно оси $y$, и обе лежат строго ниже оси $x$: возле нуля уходят вниз, а вдали прижимаются к оси $x$, не касаясь её.

Выколотые точки: при $x=0{,}5$ было бы $y=-\dfrac{1}{0{,}5}=-2$, при $x=-0{,}5$ тоже $y=-2$. Значит выколоты точки $(0{,}5;-2)$ и $(-0{,}5;-2)$.

Прямая $y=kx$ всегда проходит через начало координат.

• При $k=0$ это ось $x$. Весь график лежит ниже оси, поэтому общих точек нет — значение подходит.
• При $k\neq 0$ приравняем: $kx=-\dfrac{1}{|x|}$, то есть $kx|x|=-1$. При $x>0$ получаем $kx^{2}=-1$ — возможно только при $k<0$, и решение одно. При $x<0$ получаем $kx^{2}=1$ — возможно только при $k>0$, и решение снова одно. То есть при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Общих точек не будет, если это единственное пересечение попадёт в выколотую точку. Через $(0{,}5;-2)$ прямая проходит при $k=\dfrac{-2}{0{,}5}=-4$, а через $(-0{,}5;-2)$ — при $k=\dfrac{-2}{-0{,}5}=4$.

Итого общих точек нет при $k=0$, $k=4$ и $k=-4$.