Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038679

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=-4$: правее рисуем параболу, левее — кусок гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -4$: парабола $y=x^{2}+2x+1$. Здесь свёртывается полный квадрат: $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$. Значит ветви вверх, вершина — точка $(-1;0)$, парабола касается оси $x$. Край куска: при $x=-4$ получаем $y=(-4+1)^{2}=9$, точка $(-4;9)$ закрашенная. От неё кривая спускается к вершине $(-1;0)$ и дальше поднимается вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -4$: гипербола $y=-\dfrac{36}{x}$. Так как $x$ отрицателен, дробь $-\dfrac{36}{x}$ положительна. На границе формула дала бы $y=-\dfrac{36}{-4}=9$, но $x=-4$ этому куску не принадлежит, поэтому точка $(-4;9)$ здесь выколота. Чем дальше влево (например, $x=-9$ даёт $y=4$, $x=-36$ даёт $y=1$), тем ближе значение к нулю, но нуля оно не достигает. Значит левый кусок покрывает все значения $y$ строго между $0$ и $9$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Кусок гиперболы: одна точка при $0\lt m\lt 9$, иначе ни одной.
• Кусок параболы: при $m\lt 0$ точек нет; при $m=0$ одна (вершина); при $0\lt m\leq 9$ две (уравнение $(x+1)^{2}=m$ даёт $x=-1\pm\sqrt{m}$, и при $\sqrt{m}\leq 3$ оба корня не меньше $-4$); при $m\gt 9$ только одна, потому что корень $x=-1-\sqrt{m}$ уходит левее $-4$.

Складываем: при $m\lt 0$ точек нет; при $m=0$ ровно одна; при $0\lt m\lt 9$ получается $2+1=3$; при $m=9$ выходит $2+0=2$ (это точки $x=-4$ и $x=2$); при $m\gt 9$ остаётся одна.

Значит одну или две общие точки прямая имеет при $m=0$ и при всех $m$, начиная с $9$ и больше.