Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038678

Сначала область определения. Знаменатель $x^{2}+4x=x(x+4)$ не должен обращаться в нуль, значит $x\neq 0$ и $x\neq -4$. Оба запрета пригодятся в конце.

Упростим дробь: $$\dfrac{x+4}{x^{2}+4x}=\dfrac{x+4}{x(x+4)}=\dfrac{1}{x}.$$ Значит $$y=-2-\dfrac{1}{x},\qquad x\neq 0,\ x\neq -4.$$

Строим график. Это знакомая гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$ (её ветви лежат во второй и четвёртой четвертях), опущенная на $2$ единицы вниз. Значит вертикальная асимптота осталась прежней — прямая $x=0$, а горизонтальная асимптота опустилась и стала прямой $y=-2$. Правая ветвь (при $x>0$) лежит ниже уровня $-2$ и приближается к нему сверху вниз, левая ветвь (при $x<0$) лежит выше уровня $-2$. Никакая точка графика не имеет ординаты ровно $-2$: для этого понадобилось бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого не бывает.

Выколотая точка. При $x=-4$ формула дала бы $y=-2-\dfrac{1}{-4}=-2+0{,}25=-1{,}75$. Но $x=-4$ запрещён, значит точка $(-4;-1{,}75)$ на графике выколота.

Теперь про прямую $y=m$. Чтобы найти точку пересечения, решим $-2-\dfrac{1}{x}=m$, то есть $\dfrac{1}{x}=-2-m$ и $x=\dfrac{1}{-2-m}$. Такое $x$ существует при любом $m$, кроме $m=-2$: там уравнение решений не имеет, прямая совпадает с горизонтальной асимптотой и графика не касается.

Второй случай — когда найденная точка как раз выколота, то есть на уровне $m=-1{,}75$.

Значит прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-2$ и при $m=-1{,}75$.