Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038677

Область определения: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x-1\neq 0$, то есть $x\neq 1$.

Упрощаем дробь. В числителе вынесем общий множитель $0{,}5x$: $$0{,}5x^{2}-0{,}5x=0{,}5x(x-1).$$ Скобка $(x-1)$ сокращается со знаменателем: $$y=\dfrac{0{,}5x(x-1)\cdot|x|}{x-1}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq 1.$$

Раскроем модуль, чтобы понять форму линии:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0{,}5x^{2}$ — правая половина параболы, ветвь вверх (например, $x=2$ даёт $y=2$);
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0{,}5x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-2$ даёт $y=-2$).

Обе половинки сходятся в точке $(0;0)$, и вместе получается одна непрерывно возрастающая кривая, идущая из $-\infty$ в $+\infty$. Такая линия принимает каждое значение $y$ ровно один раз.

Учтём запрет: при $x=1$ формула дала бы $y=0{,}5\cdot 1\cdot 1=0{,}5$, но $x=1$ в область определения не входит. Значит точка $(1;\ 0{,}5)$ на графике выколота.

Горизонтальная прямая $y=m$ при любом уровне пересекала бы кривую ровно один раз. Ни одной общей точки не окажется только тогда, когда это единственное пересечение попадает в выколотую точку, то есть при $m=0{,}5$.