Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038676

Главный приём здесь — заметить, что $x^{2}=|x|^{2}$. Тогда знаменатель раскладывается на множители: $$|x|-2{,}5x^{2}=|x|-2{,}5|x|^{2}=|x|\,(1-2{,}5|x|).$$ А числитель — это та же скобка со знаком минус: $2{,}5|x|-1=-(1-2{,}5|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-2{,}5|x|)}{|x|\,(1-2{,}5|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Но сокращать можно только на то, что не равно нулю, поэтому запоминаем запреты: $x\neq 0$ и $1-2{,}5|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq 0{,}4$, значит $x\neq 0{,}4$ и $x\neq -0{,}4$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ модуль даёт $|x|=-x$, то есть $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Получаются две ветви, симметричные относительно оси $y$, и обе лежат строго ниже оси $x$: около нуля они уходят вниз к $-\infty$, а вдали приближаются к оси $x$, не касаясь её.

Выколотые точки: при $x=0{,}4$ было бы $y=-\dfrac{1}{0{,}4}=-2{,}5$, при $x=-0{,}4$ тоже $y=-2{,}5$. Значит выколоты точки $(0{,}4;-2{,}5)$ и $(-0{,}4;-2{,}5)$.

Теперь про прямую $y=kx$. Она всегда проходит через начало координат.

• Если $k=0$, это сама ось $x$. Весь график лежит ниже оси, поэтому общих точек нет — значение подходит.
• Если $k\neq 0$, приравняем: $kx=-\dfrac{1}{|x|}$, то есть $kx|x|=-1$. При $x>0$ это $kx^{2}=-1$, что возможно лишь при $k<0$, и тогда точка одна. При $x<0$ получаем $-kx^{2}=-1$, то есть $kx^{2}=1$, что возможно лишь при $k>0$, и точка снова одна. Значит при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Общих точек не будет, если это единственное пересечение попадёт как раз в выколотую точку. Прямая проходит через $(0{,}4;-2{,}5)$ при $k=\dfrac{-2{,}5}{0{,}4}=-6{,}25$, а через $(-0{,}4;-2{,}5)$ при $k=\dfrac{-2{,}5}{-0{,}4}=6{,}25$.

Итого прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=0$, $k=6{,}25$ и $k=-6{,}25$.