Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038675

Функция задана двумя формулами, граница — точка $x=-3$.

Правый кусок, $x\geq -3$: парабола $y=-x^{2}-2x+2$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=-1$, $y_0=-1+2+2=3$, то есть $(-1;3)$ — вершина попадает в нашу область. Край куска: при $x=-3$ получаем $y=-9+6+2=-1$, точка $(-3;-1)$ закрашенная. Значит кусок поднимается от $(-3;-1)$ к вершине $(-1;3)$, а затем уходит вниз.

Левый кусок, $x\lt -3$: прямая $y=-x-2$. Она убывает: при $x=-4$ будет $y=2$, при $x=-6$ будет $y=4$. На границе формула дала бы $y=3-2=1$, но $x=-3$ этому куску не принадлежит — точка $(-3;1)$ выколота. Влево луч уходит вверх, значит он даёт все значения строго больше $1$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\gt 1$, ни одной при $m\leq 1$.
• Кусок параболы: при $m\gt 3$ точек нет; при $m=3$ одна (вершина); при $-1\leq m\lt 3$ две (одна на подъёме от $(-3;-1)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt -1$ одна, ведь левая ветвь параболы вышла за границу $x=-3$.

Складываем: при $m\gt 3$ получается $1$; при $m=3$ выходит $1+1=2$; при $1\lt m\lt 3$ выходит $1+2=3$; при $-1\leq m\leq 1$ выходит $0+2=2$; при $m\lt -1$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=3$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ от $-1$ до $1$ включительно.