Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038674

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=2$.

Правый кусок, $x\geq 2$: парабола $y=-x^{2}+6x-9$. Свернём в квадрат: $-x^{2}+6x-9=-(x^{2}-6x+9)=-(x-3)^{2}$. Значит ветви вниз, а вершина — точка $(3;0)$, и парабола касается оси $x$ сверху, нигде её не пересекая. Край куска: при $x=2$ получаем $y=-(2-3)^{2}=-1$, точка $(2;-1)$ закрашенная. От неё кривая поднимается до вершины $(3;0)$ и дальше уходит вниз.

Левый кусок, $x\lt 2$: прямая $y=-x$. Она убывает: при $x=0$ будет $y=0$, при $x=-3$ будет $y=3$. На границе получилось бы $y=-2$, но $x=2$ этому куску не принадлежит — точка $(2;-2)$ выколота. Влево луч идёт вверх, значит даёт все значения строго больше $-2$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\gt -2$, ни одной при $m\leq -2$.
• Кусок параболы: при $m\gt 0$ точек нет; при $m=0$ одна (вершина, точка касания оси); при $-1\leq m\lt 0$ две (одна на подъёме от $(2;-1)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt -1$ одна, ведь левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=2$.

Складываем: при $m\gt 0$ получается $1$; при $m=0$ выходит $1+1=2$; при $-1\leq m\lt 0$ выходит $1+2=3$; при $-2\lt m\lt -1$ выходит $1+1=2$; при $m\leq -2$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=0$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $-2$ и $-1$.