Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038673

Область определения: знаменатель не может быть нулём, поэтому $x-4\neq 0$, то есть $x\neq 4$.

Упрощаем дробь. В числителе вынесем $0{,}5x$: $$0{,}5x^{2}-2x=0{,}5x(x-4),$$ ведь $0{,}5\cdot 4=2$. Тогда $$y=\dfrac{0{,}5x(x-4)\cdot|x|}{x-4}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq 4.$$

Раскрываем модуль:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}5x^{2}$ — правая половина параболы, ветвь вверх (например, $x=4$ дало бы $y=8$);
• при $x<0$: $y=-0{,}5x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-4$ даёт $y=-8$).

Половинки сходятся в начале координат, и получается одна возрастающая кривая, покрывающая все значения $y$ ровно по одному разу.

Дырка: при $x=4$ формула дала бы $y=0{,}5\cdot 4\cdot 4=8$, но $x=4$ запрещён, поэтому точка $(4;8)$ выколота.

Прямая $y=m$ пересекает такую кривую ровно один раз при любом уровне. Ни одной общей точки не будет только тогда, когда эта единственная точка выколота, то есть при $m=8$.