Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038672

Область определения: $x-3\neq 0$, то есть $x\neq 3$.

Упростим выражение. В числителе вынесем $x$: $x^{2}-3x=x(x-3)$. Скобка $(x-3)$ сокращается со знаменателем: $$y=\dfrac{x(x-3)\cdot|x|}{x-3}=x|x|,\qquad x\neq 3.$$

Раскроем модуль, чтобы понять форму графика:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=x^{2}$ — правая половина обычной параболы (например, $x=3$ дало бы $y=9$);
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-x^{2}$ — левая половина параболы, перевёрнутой вниз (например, $x=-3$ даёт $y=-9$).

Половинки сходятся в точке $(0;0)$, и получается одна непрерывная возрастающая кривая, идущая из $-\infty$ в $+\infty$. Такая линия принимает каждое значение $y$ ровно один раз.

Теперь дырка: при $x=3$ формула $x|x|$ дала бы $y=3\cdot 3=9$, но $x=3$ в область определения не входит, поэтому точка $(3;9)$ выколота.

Прямая $y=m$ горизонтальна и при любом уровне пересекала бы кривую ровно один раз. Ни одной общей точки не окажется только на том уровне, где эта точка выколота, то есть при $m=9$.