Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038671

Область определения: $x+1\neq 0$, то есть $x\neq -1$. Этот запрет сохраняется и после сокращения дроби — именно он даст выколотую точку.

Упрощаем. В числителе выносим общий множитель $0{,}5x$: $$0{,}5x^{2}+0{,}5x=0{,}5x(x+1).$$ Тогда $$y=\dfrac{0{,}5x(x+1)\cdot|x|}{x+1}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq -1.$$

Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}5x^{2}$ — правая половина параболы, идущая вверх (например, $x=4$ даёт $y=8$);
• при $x<0$: $y=-0{,}5x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-4$ даёт $y=-8$).

Половинки стыкуются в начале координат, и вместе получается одна возрастающая кривая от $-\infty$ до $+\infty$; каждое значение $y$ на ней встречается ровно один раз.

Выколотая точка: при $x=-1$ формула дала бы $y=0{,}5\cdot(-1)\cdot 1=-0{,}5$, но $x=-1$ запрещён. Значит точка $(-1;-0{,}5)$ на графике выколота.

Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает такую кривую ровно один раз при любом уровне. Ни одной общей точки не будет только тогда, когда эта единственная точка выколота, то есть при $m=-0{,}5$.