Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038670

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит $x-2\neq 0$, то есть $x\neq 2$.

Упростим дробь. В числителе вынесем $0{,}75x$: $$0{,}75x^{2}-1{,}5x=0{,}75x(x-2),$$ ведь $0{,}75\cdot 2=1{,}5$. Тогда скобка $(x-2)$ сокращается: $$y=\dfrac{0{,}75x(x-2)\cdot|x|}{x-2}=0{,}75x|x|,\qquad x\neq 2.$$

Что это за линия? Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}75x^{2}$ — правая ветвь параболы с вершиной в начале координат (при $x=2$ было бы $y=3$);
• при $x<0$: $y=-0{,}75x^{2}$ — левая ветвь параболы, отражённой вниз (при $x=-2$ получаем $y=-3$).

Обе половинки сходятся в точке $(0;0)$, вместе получается непрерывно возрастающая кривая, которая принимает каждое значение $y$ ровно один раз.

Учтём запрет: при $x=2$ формула дала бы $y=0{,}75\cdot 2\cdot 2=3$, но такое $x$ не входит в область определения. Значит точка $(2;3)$ выколота.

Прямая $y=m$ при любом уровне пересекала бы кривую ровно один раз. Общих точек не будет только тогда, когда единственная точка пересечения выколота, то есть при $m=3$.