Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038669

Модуль $|x-5|$ меняет знак при $x=5$, поэтому раскрываем его отдельно на двух промежутках.

При $x\geq 5$: $|x-5|=x-5$, значит $y=2(x-5)-x^{2}+11x-30=2x-10-x^{2}+11x-30=-x^{2}+13x-40$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{13}{2\cdot(-1)}=6{,}5$, $y_0=-42{,}25+84{,}5-40=2{,}25$, то есть $(6{,}5;\ 2{,}25)$. Нули: $x^{2}-13x+40=0$, откуда $x=5$ и $x=8$ — оба в нашей области.

При $x\lt 5$: $|x-5|=5-x$, значит $y=2(5-x)-x^{2}+11x-30=10-2x-x^{2}+11x-30=-x^{2}+9x-20$. Ветви тоже вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{9}{2\cdot(-1)}=4{,}5$, $y_0=-20{,}25+40{,}5-20=0{,}25$, то есть $(4{,}5;\ 0{,}25)$. Нули: $x^{2}-9x+20=0$, откуда $x=4$ и $x=5$; в промежуток $x\lt 5$ попадает только $x=4$.

При $x=5$ обе формулы дают $y=0$, значит график непрерывен. Картинка: слева кривая поднимается из $-\infty$ до совсем низкого горбика $(4{,}5;\ 0{,}25)$, опускается до нуля в точке $(5;0)$, затем поднимается до горба $(6{,}5;\ 2{,}25)$ и уходит вниз, пересекая ось в точке $x=8$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\gt 2{,}25$ — точек нет;
• $m=2{,}25$ — одна (вершина правого горба);
• $0{,}25\lt m\lt 2{,}25$ — две, обе на правом горбе;
• $m=0{,}25$ — вершина левого горбика даёт $1$ точку, правый горб даёт $2$, итого три;
• $0\lt m\lt 0{,}25$ — по две точки на каждом горбе, итого четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=4$, правый даёт $x=5$ и $x=8$, итого три;
• $m\lt 0$ — остаются только две крайние ветви, итого две.

Значит, ровно три общие точки бывают на уровне вершины левого горбика и на уровне точки стыка.