Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038668

Собираем график из двух кусков, граница — точка $x=-3$.

Правый кусок, $x\geq -3$: парабола $y=-x^{2}-4x-1$. Коэффициент при $x^{2}$ отрицательный — ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}=-2$, $y_0=-4+8-1=3$, то есть $(-2;3)$ — вершина лежит в нашей области. Край куска: при $x=-3$ получаем $y=-9+12-1=2$, точка $(-3;2)$ закрашенная. Значит кусок поднимается от $(-3;2)$ к вершине $(-2;3)$, а потом уходит вниз, к $-\infty$.

Левый кусок, $x\lt -3$: прямая $y=-x-3$. Она убывает: при $x=-4$ будет $y=1$, при $x=-6$ будет $y=3$. На границе формула дала бы $y=3-3=0$, но $x=-3$ этому куску не принадлежит — точка $(-3;0)$ выколота. Влево луч идёт вверх, значит он даёт все значения строго больше $0$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\gt 0$, ни одной при $m\leq 0$.
• Кусок параболы: при $m\gt 3$ точек нет; при $m=3$ одна (вершина); при $2\leq m\lt 3$ две (одна на коротком подъёме от $(-3;2)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt 2$ одна, ведь левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=-3$.

Складываем: при $m\gt 3$ получается $1$; при $m=3$ выходит $1+1=2$; при $2\leq m\lt 3$ выходит $1+2=3$; при $0\lt m\lt 2$ выходит $1+1=2$; при $m\leq 0$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=3$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $0$ и $2$.