Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038667

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=-4$.

Правый кусок, $x\geq -4$: парабола $y=x^{2}+4x-1$. Ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot 1}=-2$, $y_0=4-8-1=-5$, то есть $(-2;-5)$ — вершина попадает в нашу область. Край куска: при $x=-4$ получаем $y=16-16-1=-1$, точка $(-4;-1)$ закрашенная. Значит кусок спускается от $(-4;-1)$ к вершине $(-2;-5)$ и дальше поднимается вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -4$: прямая $y=x$. Это биссектриса первой и третьей четвертей, но нам нужна только её часть левее $x=-4$. На границе получилось бы $y=-4$, но точка $x=-4$ этому куску не принадлежит, поэтому $(-4;-4)$ выколота. Влево луч уходит вниз, значит он даёт все значения строго меньше $-4$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\lt -4$, ни одной при $m\geq -4$.
• Кусок параболы: при $m\lt -5$ точек нет; при $m=-5$ одна (вершина); при $-5\lt m\leq -1$ две (одна на спуске от $(-4;-1)$ к вершине, вторая на подъёме); при $m\gt -1$ одна, ведь левая ветвь параболы вышла за границу $x=-4$.

Складываем: при $m\lt -5$ получается $1$; при $m=-5$ выходит $1+1=2$; при $-5\lt m\lt -4$ выходит $1+2=3$; при $-4\leq m\leq -1$ выходит $0+2=2$; при $m\gt -1$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=-5$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ от $-4$ до $-1$ включительно.