Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038666

Сначала область определения: $x-3\neq 0$, то есть $x\neq 3$. Этот запрет и создаст выколотую точку.

Упрощаем дробь. Вынесем в числителе общий множитель $0{,}75x$: $$0{,}75x^{2}-2{,}25x=0{,}75x(x-3),$$ ведь $0{,}75\cdot 3=2{,}25$. Тогда $$y=\dfrac{0{,}75x(x-3)\cdot|x|}{x-3}=0{,}75x|x|,\qquad x\neq 3.$$

Раскроем модуль, чтобы понять форму линии:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}75x^{2}$ — правая половина параболы, идущая вверх (например, $x=2$ даёт $y=3$);
• при $x<0$: $y=-0{,}75x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-2$ даёт $y=-3$).

Обе половинки сходятся в начале координат, и получается одна возрастающая кривая, проходящая через все значения $y$ ровно по одному разу.

Выколотая точка: при $x=3$ формула дала бы $y=0{,}75\cdot 3\cdot 3=6{,}75$, но $x=3$ в область определения не входит. Значит точка $(3;\ 6{,}75)$ на графике выколота.

Горизонтальная прямая $y=m$ пересекает такую кривую ровно один раз при любом уровне. Ни одной общей точки не окажется только тогда, когда эта единственная точка выколота, то есть при $m=6{,}75$.