Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038665

Область определения: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x-2\neq 0$, то есть $x\neq 2$. Из-за этого запрета на графике появится дырка.

Упростим дробь. В числителе вынесем $0{,}25x$: $$0{,}25x^{2}-0{,}5x=0{,}25x(x-2).$$ Проверка: $0{,}25x\cdot x-0{,}25x\cdot 2=0{,}25x^{2}-0{,}5x$ — сходится. Значит $$y=\dfrac{0{,}25x(x-2)\cdot|x|}{x-2}=0{,}25x|x|,\qquad x\neq 2.$$

Раскрываем модуль:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}25x^{2}$ — правая половина параболы с вершиной в начале координат (например, $x=2$ дало бы $y=1$);
• при $x<0$: $y=-0{,}25x^{2}$ — левая половина параболы, перевёрнутой вниз (например, $x=-2$ даёт $y=-1$).

Половинки стыкуются в точке $(0;0)$, и получается единая непрерывно возрастающая линия от $-\infty$ до $+\infty$: каждое значение $y$ она принимает ровно один раз.

Теперь выколотая точка: при $x=2$ формула дала бы $y=0{,}25\cdot 2\cdot 2=1$, но $x=2$ запрещён. Значит точка $(2;1)$ на графике выколота.

Прямая $y=m$ пересекает возрастающую кривую ровно один раз при любом уровне. Ни одной общей точки не будет только тогда, когда единственная точка пересечения оказывается выколотой, то есть при $m=1$.