Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038664

Модуль $|x+2|$ меняет знак при $x=-2$, поэтому раскроем его отдельно справа и слева от этой точки.

При $x\geq -2$: $|x+2|=x+2$, значит $y=4(x+2)-x^{2}-3x-2=4x+8-x^{2}-3x-2=-x^{2}+x+6$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{1}{2\cdot(-1)}=0{,}5$, $y_0=-0{,}25+0{,}5+6=6{,}25$, то есть $(0{,}5;\ 6{,}25)$. Нули: $x^{2}-x-6=0$, откуда $x=3$ и $x=-2$ — оба в нашей области.

При $x\lt -2$: $|x+2|=-x-2$, значит $y=-4(x+2)-x^{2}-3x-2=-4x-8-x^{2}-3x-2=-x^{2}-7x-10$. Ветви тоже вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-7}{2\cdot(-1)}=-3{,}5$, $y_0=-12{,}25+24{,}5-10=2{,}25$, то есть $(-3{,}5;\ 2{,}25)$. Нули: $x^{2}+7x+10=0$, откуда $x=-2$ и $x=-5$; годится только $x=-5$.

При $x=-2$ обе формулы дают $y=0$, поэтому разрыва нет. Картинка получается двугорбая: слева невысокий горб с вершиной $(-3{,}5;\ 2{,}25)$, затем провал ровно до нуля в точке $(-2;0)$, затем высокий горб с вершиной $(0{,}5;\ 6{,}25)$, а по краям ветви уходят вниз.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\gt 6{,}25$ — точек нет;
• $m=6{,}25$ — одна (вершина высокого горба);
• $2{,}25\lt m\lt 6{,}25$ — две, обе на высоком горбе;
• $m=2{,}25$ — вершина низкого горба даёт $1$ точку, высокий горб даёт $2$, итого три;
• $0\lt m\lt 2{,}25$ — по две точки на каждом горбе, итого четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=-5$, правый даёт $x=-2$ и $x=3$, итого три;
• $m\lt 0$ — остаются только две крайние ветви, итого две.

Значит, ровно три общие точки бывают на уровне вершины низкого горба и на уровне дна провала.