Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038663

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=2$.

Правый кусок, $x\geq 2$: парабола $y=x^{2}-6x+6$. Ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3$, $y_0=9-18+6=-3$, то есть $(3;-3)$ — вершина лежит в нашей области. Край куска: при $x=2$ получаем $y=4-12+6=-2$, точка $(2;-2)$ закрашенная. От неё кусок спускается к вершине $(3;-3)$ и дальше поднимается вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt 2$: прямая $y=x-3$. Она возрастает: при $x=0$ будет $y=-3$, при $x=-2$ будет $y=-5$. На границе формула дала бы $y=2-3=-1$, но $x=2$ этому куску не принадлежит — точка $(2;-1)$ выколота. Влево луч уходит вниз, значит даёт все значения строго меньше $-1$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\lt -1$, ни одной при $m\geq -1$.
• Кусок параболы: при $m\lt -3$ точек нет; при $m=-3$ одна (вершина); при $-3\lt m\leq -2$ две (одна на спуске от $(2;-2)$ к вершине, вторая на подъёме); при $m\gt -2$ одна, потому что левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=2$.

Складываем: при $m\lt -3$ получается $1$; при $m=-3$ выходит $1+1=2$; при $-3\lt m\leq -2$ выходит $1+2=3$; при $-2\lt m\lt -1$ выходит $1+1=2$; при $m\geq -1$ остаётся $1+0=1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=-3$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $-2$ и $-1$.