Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038662

Модуль $|x+2|$ меняет знак при $x=-2$, поэтому раскрываем его отдельно на двух промежутках — получим две параболы.

При $x\geq -2$: $|x+2|=x+2$, тогда $y=3(x+2)-x^{2}-3x-2=3x+6-x^{2}-3x-2=-x^{2}+4$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(0;4)$. Нули: $-x^{2}+4=0$, откуда $x=-2$ и $x=2$ — оба входят в промежуток.

При $x\lt -2$: $|x+2|=-x-2$, тогда $y=-3(x+2)-x^{2}-3x-2=-3x-6-x^{2}-3x-2=-x^{2}-6x-8$. Тоже ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=-3$, $y_0=-9+18-8=1$, то есть $(-3;1)$. Нули: $x^{2}+6x+8=0$, откуда $x=-2$ и $x=-4$; в промежуток $x\lt -2$ попадает только $x=-4$.

В точке $x=-2$ обе формулы дают $y=0$, значит график не рвётся. Картинка такая: слева кривая поднимается из $-\infty$ до маленького горба $(-3;1)$, опускается до нуля в точке $(-2;0)$, затем поднимается до большого горба $(0;4)$ и уходит вниз, пересекая ось в точке $x=2$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\gt 4$ — точек нет;
• $m=4$ — одна (вершина большого горба);
• $1\lt m\lt 4$ — две, обе на большом горбе;
• $m=1$ — вершина маленького горба даёт $1$ точку, большой горб даёт $2$, всего три;
• $0\lt m\lt 1$ — по две точки на каждом горбе, всего четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=-4$, правый даёт $x=-2$ и $x=2$, всего три;
• $m\lt 0$ — прямая ниже провала, остаются две крайние ветви, всего две.

Значит, ровно три общие точки получаются на уровне вершины маленького горба и на уровне точки стыка кусков.