Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038661

Сначала область определения: знаменатель не равен нулю, поэтому $x+1\neq 0$, то есть $x\neq -1$.

Теперь упрощаем. В числителе выносим $x$: $x^{2}+x=x(x+1)$. Скобка $(x+1)$ сокращается со знаменателем: $$y=\dfrac{x(x+1)\cdot|x|}{x+1}=x|x|,\qquad x\neq -1.$$

Разберём, что за линия получилась:

• при $x\geq 0$ модуль раскрывается как $|x|=x$, значит $y=x^{2}$ — знакомая парабола, но только её правая половина;
• при $x<0$ модуль раскрывается как $|x|=-x$, значит $y=-x^{2}$ — левая половина параболы, перевёрнутой вниз.

Например, $x=3$ даёт $y=9$, а $x=-3$ даёт $y=-9$. Обе половинки сходятся в начале координат, и вместе выходит одна непрерывная возрастающая кривая, идущая из $-\infty$ в $+\infty$. Каждое значение $y$ она принимает ровно один раз.

Учитываем запрет: при $x=-1$ формула $x|x|$ дала бы $y=(-1)\cdot 1=-1$, но эта точка исключена. Значит на графике выколота точка $(-1;-1)$.

Горизонтальная прямая $y=m$ при любом $m$ пересекла бы такую кривую ровно один раз. Общих точек не будет только тогда, когда эта единственная точка выколота, то есть при $m=-1$.