Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038660

Функция задана двумя формулами с границей в точке $x=3$: правее рисуем параболу, левее — прямую.

Правый кусок, $x\geq 3$: парабола $y=x^{2}-8x+14$. Ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{-8}{2\cdot 1}=4$, $y_0=16-32+14=-2$, то есть $(4;-2)$ — вершина попадает в область $x\geq 3$. Край куска: при $x=3$ получаем $y=9-24+14=-1$, точка $(3;-1)$ графику принадлежит (закрашенная). Значит кусок спускается от $(3;-1)$ к вершине $(4;-2)$ и дальше идёт вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt 3$: прямая $y=x-2$. Она возрастает: при $x=2$ будет $y=0$, при $x=-1$ будет $y=-3$. На границе формула дала бы $y=3-2=1$, но $x=3$ этому куску не принадлежит — точка $(3;1)$ выколота. Влево луч идёт вниз, значит принимает все значения строго меньше $1$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\lt 1$, ни одной при $m\geq 1$.
• Кусок параболы: при $m\lt -2$ точек нет; при $m=-2$ одна (вершина); при $-2\lt m\leq -1$ две (одна на коротком спуске от $(3;-1)$ к вершине, вторая на подъёме); при $m\gt -1$ одна, так как левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=3$.

Складываем: при $m\lt -2$ получается $1$; при $m=-2$ выходит $1+1=2$; при $-2\lt m\leq -1$ выходит $1+2=3$; при $-1\lt m\lt 1$ выходит $1+1=2$; при $m\geq 1$ остаётся $1+0=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=-2$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $-1$ и $1$.