Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038659

Область определения: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x+4\neq 0$, то есть $x\neq -4$. Запомним этот запрет — он даст выколотую точку.

Упростим выражение. В числителе вынесем $0{,}25x$: $$0{,}25x^{2}+x=0{,}25x(x+4).$$ Проверим раскрытием: $0{,}25x\cdot x+0{,}25x\cdot 4=0{,}25x^{2}+x$ — верно. Тогда $$y=\dfrac{0{,}25x(x+4)\cdot|x|}{x+4}=0{,}25x|x|,\qquad x\neq -4.$$

Раскроем модуль, чтобы увидеть форму линии:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}25x^{2}$ — правая половина параболы, идущая вверх (например, $x=4$ даёт $y=4$);
• при $x<0$: $y=-0{,}25x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-4$ дало бы $y=-4$).

Половинки стыкуются в точке $(0;0)$, и получается единая возрастающая кривая от $-\infty$ до $+\infty$. Каждое значение $y$ такая кривая принимает ровно один раз.

Осталась выколотая точка: при $x=-4$ формула дала бы $y=0{,}25\cdot(-4)\cdot|-4|=0{,}25\cdot(-4)\cdot 4=-4$, но $x=-4$ запрещён. Значит точка $(-4;-4)$ на графике выколота.

Прямая $y=m$ обычно даёт с этой кривой ровно одну общую точку. Ни одной точки не будет только на том уровне, где единственная точка пересечения как раз выколота, то есть при $m=-4$.