Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038658

Начинаем с области определения: знаменатель не равен нулю, значит $x+1\neq 0$, то есть $x\neq -1$. Именно из-за этого запрета на графике появится выколотая точка.

Упрощаем дробь. В числителе выносим общий множитель: $0{,}75x^{2}+0{,}75x=0{,}75x(x+1)$. Тогда $$y=\dfrac{0{,}75x(x+1)\cdot|x|}{x+1}=0{,}75x|x|,\qquad x\neq -1.$$

Чтобы понять, как выглядит эта линия, раскроем модуль:

• при $x\geq 0$ получаем $|x|=x$ и $y=0{,}75x^{2}$ — правая половина параболы, ветвь вверх (например, $x=2$ даёт $y=3$);
• при $x<0$ получаем $|x|=-x$ и $y=-0{,}75x^{2}$ — левая половина перевёрнутой параболы (например, $x=-2$ даёт $y=-3$).

Обе половинки сходятся в начале координат, и вместе получается одна непрерывно возрастающая кривая: слева она приходит из $-\infty$, проходит через $(0;0)$ и уходит вверх. Возрастающая линия принимает каждое значение $y$ ровно один раз.

Теперь про дырку: при $x=-1$ формула $0{,}75x|x|$ дала бы $y=0{,}75\cdot(-1)\cdot 1=-0{,}75$, но точка $x=-1$ в область определения не входит. Значит, точка $(-1;-0{,}75)$ выколота.

Горизонтальная прямая $y=m$ при любом уровне $m$ встретила бы кривую ровно один раз. Ни одной общей точки не будет только тогда, когда эта единственная точка выколота, то есть при $m=-0{,}75$.