Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038657

График склеиваем из двух кусков с границей в точке $x=1$.

Правый кусок, $x\geq 1$: парабола $y=x^{2}-6x+10$. Ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3$, $y_0=9-18+10=1$, то есть $(3;1)$ — вершина лежит в нашей области. Оси $x$ парабола не касается: дискриминант $D=36-40=-4\lt 0$, вся кривая выше оси. Край куска: при $x=1$ получаем $y=1-6+10=5$, точка $(1;5)$ закрашенная. Значит от $(1;5)$ кусок спускается до вершины $(3;1)$ и дальше поднимается вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt 1$: прямая $y=x+2$. Она возрастает: при $x=0$ будет $y=2$, при $x=-3$ будет $y=-1$. На границе формула дала бы $y=1+2=3$, но $x=1$ этому куску не принадлежит — точка $(1;3)$ выколота. Влево луч уходит вниз, значит он даёт все значения $y$ строго меньше $3$, каждое ровно один раз.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\lt 3$, ни одной при $m\geq 3$.
• Кусок параболы: при $m\lt 1$ точек нет; при $m=1$ одна (вершина); при $1\lt m\leq 5$ две (одна на спуске от $(1;5)$ к вершине, вторая на подъёме); при $m\gt 5$ одна, потому что левая ветвь уже вышла за границу $x=1$.

Складываем: при $m\lt 1$ получается $1$; при $m=1$ выходит $1+1=2$; при $1\lt m\lt 3$ выходит $1+2=3$; при $3\leq m\leq 5$ выходит $0+2=2$; при $m\gt 5$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=1$ (прямая проходит через вершину) и при всех $m$ от $3$ до $5$ включительно.