Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038656

Функция задана кусками, поэтому и график собираем из двух частей с границей в точке $x=-1$.

Правый кусок, $x\geq -1$: парабола $y=-x^{2}+2x+3$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1$, $y_0=-1+2+3=4$, то есть $(1;4)$ — вершина лежит в нашей области. Нули: $-x^{2}+2x+3=0$, то есть $x^{2}-2x-3=0$, откуда $x=-1$ и $x=3$. Значит кусок начинается в точке $(-1;0)$ — она закрашенная, — поднимается до вершины $(1;4)$, пересекает ось $x$ в точке $3$ и уходит вниз.

Левый кусок, $x\lt -1$: прямая $y=-x+1$. Она убывает; строим по точкам: при $x=-2$ будет $y=3$, при $x=-4$ будет $y=5$. На границе формула дала бы $y=-(-1)+1=2$, но $x=-1$ этому куску не принадлежит, поэтому точка $(-1;2)$ выколота. Влево от неё луч идёт вверх, значит он даёт все значения $y$ строго больше $2$, каждое по одному разу.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\gt 2$, ни одной при $m\leq 2$.
• Кусок параболы: при $m\gt 4$ точек нет; при $m=4$ одна (вершина); при $0\leq m\lt 4$ две (одна на подъёме от $(-1;0)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt 0$ одна, ведь левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=-1$.

Складываем: при $m\gt 4$ получается $1$; при $m=4$ выходит $1+1=2$; при $2\lt m\lt 4$ выходит $1+2=3$; при $0\leq m\leq 2$ выходит $0+2=2$; при $m\lt 0$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=4$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ от $0$ до $2$ включительно.