Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038655

Сначала область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому $x+2\neq 0$, то есть $x\neq -2$. Это важно — именно здесь на графике появится «дырка».

Теперь упростим формулу. В числителе вынесем общий множитель: $0{,}5x^{2}+x=0{,}5x(x+2)$. Тогда $$y=\dfrac{0{,}5x(x+2)\cdot|x|}{x+2}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq -2.$$

Раскроем модуль, чтобы понять, что это за линия:

• при $x\geq 0$ имеем $|x|=x$, значит $y=0{,}5x^{2}$ — это правая половина параболы с вершиной в начале координат, ветвь идёт вверх;
• при $x<0$ имеем $|x|=-x$, значит $y=-0{,}5x^{2}$ — это левая половина параболы, отражённой вниз.

Обе половинки сходятся в точке $(0;0)$, и вся линия непрерывно возрастает: слева она приходит из $-\infty$, проходит через начало координат и уходит вверх в $+\infty$. Такая кривая каждое своё значение принимает ровно один раз.

Осталось учесть выколотую точку. При $x=-2$ формула $0{,}5x|x|$ дала бы $y=0{,}5\cdot(-2)\cdot 2=-2$, но само значение $x=-2$ в область определения не входит. Значит, точка $(-2;-2)$ на графике выколота.

Прямая $y=m$ горизонтальна. Так как кривая возрастает и покрывает все значения $y$, при любом $m$ нашлась бы ровно одна общая точка — кроме случая, когда эта единственная точка как раз выколота. Это происходит при $m=-2$.