Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038654

График склеен из двух кусков: правее $x=2$ работает парабола, левее — прямая.

Правый кусок, $x\geq 2$: парабола $y=-x^{2}+8x-17$. Коэффициент при $x^{2}$ отрицательный, значит ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{8}{2\cdot(-1)}=4$, $y_0=-16+32-17=-1$, то есть $(4;-1)$ — вершина попадает в область $x\geq 2$. Край куска: при $x=2$ получаем $y=-4+16-17=-5$, точка $(2;-5)$ графику принадлежит (закрашенная). Значит от $(2;-5)$ кривая поднимается до вершины $(4;-1)$, а дальше уходит вниз, к $-\infty$.

Левый кусок, $x\lt 2$: прямая $y=-x-2$. Она убывает. Возьмём точки: при $x=0$ будет $y=-2$, при $x=-3$ будет $y=1$. У границы: при $x=2$ формула дала бы $y=-4$, но $x=2$ этому куску не принадлежит, поэтому точка $(2;-4)$ выколота. Влево от неё прямая идёт вверх, поэтому этот луч принимает все значения строго больше $-4$, каждое ровно один раз.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• Луч даёт одну точку при $m\gt -4$ и ни одной при $m\leq -4$.
• Кусок параболы: при $m\gt -1$ точек нет; при $m=-1$ одна (вершина); при $-5\leq m\lt -1$ две (одна на подъёме от $(2;-5)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt -5$ одна, потому что левая ветвь уже вышла за границу $x=2$.

Складываем: при $m\gt -1$ получается $1$ точка; при $m=-1$ выходит $1+1=2$; при $-4\lt m\lt -1$ выходит $1+2=3$; при $-5\leq m\leq -4$ выходит $0+2=2$; при $m\lt -5$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки получаются при $m=-1$ (прямая проходит через вершину) и на промежутке от $-5$ до $-4$ включительно.