Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038653

В формуле стоит модуль $|x+6|$, который меняет знак при $x=-6$. Раскроем его отдельно слева и справа от этой точки — получатся две параболы.

При $x\geq -6$ имеем $|x+6|=x+6$, поэтому $y=4(x+6)-x^{2}-11x-30=4x+24-x^{2}-11x-30=-x^{2}-7x-6$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-7}{2\cdot(-1)}=-3{,}5$, $y_0=-12{,}25+24{,}5-6=6{,}25$, то есть $(-3{,}5;\ 6{,}25)$. Нули: $x^{2}+7x+6=0$, откуда $x=-1$ и $x=-6$ — оба лежат в области $x\geq -6$.

При $x\lt -6$ имеем $|x+6|=-x-6$, поэтому $y=-4(x+6)-x^{2}-11x-30=-4x-24-x^{2}-11x-30=-x^{2}-15x-54$. Ветви тоже вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-15}{2\cdot(-1)}=-7{,}5$, $y_0=-56{,}25+112{,}5-54=2{,}25$, то есть $(-7{,}5;\ 2{,}25)$. Нули: $x^{2}+15x+54=0$, откуда $x=-9$ и $x=-6$; в области $x\lt -6$ остаётся только $x=-9$.

В точке $x=-6$ обе формулы дают $y=0$, значит разрыва нет. График выглядит как две «горки»: слева невысокий горб с вершиной $(-7{,}5;\ 2{,}25)$, потом провал ровно до нуля в точке $(-6;0)$, потом высокий горб с вершиной $(-3{,}5;\ 6{,}25)$, а по краям кривая уходит вниз.

Двигаем прямую $y=m$ сверху вниз и считаем точки:

• $m\gt 6{,}25$ — точек нет;
• $m=6{,}25$ — одна (макушка высокого горба);
• $2{,}25\lt m\lt 6{,}25$ — две, обе на высоком горбе;
• $m=2{,}25$ — макушка низкого горба даёт $1$ точку и высокий горб даёт $2$, итого три;
• $0\lt m\lt 2{,}25$ — по две точки на каждом горбе, итого четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=-9$, правый даёт $x=-6$ и $x=-1$, итого три;
• $m\lt 0$ — прямая ниже провала, остаются только две крайние ветви, итого две.

Значит, ровно три общие точки бывают на уровне вершины низкого горба и на уровне дна провала между горбами.