Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038652

Внутри формулы стоит модуль $|x-3|$, а он меняет знак в точке $x=3$. Значит, раскрываем модуль на двух промежутках и получаем две разные параболы.

При $x\geq 3$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|x-3|=x-3$, тогда $y=4(x-3)-x^{2}+8x-15=4x-12-x^{2}+8x-15=-x^{2}+12x-27$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{12}{2\cdot(-1)}=6$, $y_0=-36+72-27=9$, то есть $(6;9)$. Нули: $x^{2}-12x+27=0$, откуда $x=3$ и $x=9$ — оба подходят под условие $x\geq 3$.

При $x\lt 3$ модуль раскрывается со знаком минус: $|x-3|=3-x$, тогда $y=4(3-x)-x^{2}+8x-15=12-4x-x^{2}+8x-15=-x^{2}+4x-3$. Ветви тоже вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$, $y_0=-4+8-3=1$, то есть $(2;1)$. Нули: $x^{2}-4x+3=0$, откуда $x=1$ и $x=3$; годится только $x=1$, а $x=3$ — граница, она достаётся правому куску.

В точке $x=3$ обе формулы дают $y=0$, поэтому график не рвётся: он единой линией поднимается из $-\infty$, доходит до горбика $(2;1)$, опускается до нуля в точке $(3;0)$, снова поднимается до большого горба $(6;9)$ и уходит вниз. Получается «двугорбая» кривая с провалом до нуля между горбами.

Считаем пересечения с горизонтальной прямой $y=m$:

• $m\gt 9$ — точек нет, прямая выше обоих горбов;
• $m=9$ — одна точка (макушка большого горба);
• $1\lt m\lt 9$ — две точки, обе на большом горбе;
• $m=1$ — макушка маленького горба даёт $1$ точку плюс $2$ точки на большом горбе, итого три;
• $0\lt m\lt 1$ — по две точки на каждом горбе, итого четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=1$, правый даёт $x=3$ и $x=9$, итого три;
• $m\lt 0$ — прямая ниже провала, обе внешние ветви дают по одной точке, итого две.

Ровно три общие точки бывают, когда прямая проходит по макушке маленького горба или ровно по уровню «стыка» кусков.