ID: 00038652
Источник: ФИПИ
Внутри формулы стоит модуль $|x-3|$, а он меняет знак в точке $x=3$. Значит, раскрываем модуль на двух промежутках и получаем две разные параболы.
При $x\geq 3$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|x-3|=x-3$, тогда $y=4(x-3)-x^{2}+8x-15=4x-12-x^{2}+8x-15=-x^{2}+12x-27$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{12}{2\cdot(-1)}=6$, $y_0=-36+72-27=9$, то есть $(6;9)$. Нули: $x^{2}-12x+27=0$, откуда $x=3$ и $x=9$ — оба подходят под условие $x\geq 3$.
При $x\lt 3$ модуль раскрывается со знаком минус: $|x-3|=3-x$, тогда $y=4(3-x)-x^{2}+8x-15=12-4x-x^{2}+8x-15=-x^{2}+4x-3$. Ветви тоже вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$, $y_0=-4+8-3=1$, то есть $(2;1)$. Нули: $x^{2}-4x+3=0$, откуда $x=1$ и $x=3$; годится только $x=1$, а $x=3$ — граница, она достаётся правому куску.
В точке $x=3$ обе формулы дают $y=0$, поэтому график не рвётся: он единой линией поднимается из $-\infty$, доходит до горбика $(2;1)$, опускается до нуля в точке $(3;0)$, снова поднимается до большого горба $(6;9)$ и уходит вниз. Получается «двугорбая» кривая с провалом до нуля между горбами.
Считаем пересечения с горизонтальной прямой $y=m$:
Ровно три общие точки бывают, когда прямая проходит по макушке маленького горба или ровно по уровню «стыка» кусков.