Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038651

Функция задана двумя формулами, поэтому и график собираем из двух кусков: справа от $x=-4$ — парабола, слева — прямая.

Правый кусок, $x\geq -4$: парабола $y=x^{2}+6x+7$. Ветви вверх. Абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot 1}=-3$, ордината $y_0=(-3)^{2}+6\cdot(-3)+7=9-18+7=-2$. Вершина $(-3;-2)$ попадает в нашу область, значит она на графике есть. Край куска: при $x=-4$ получаем $y=16-24+7=-1$, точка $(-4;-1)$ графику принадлежит (закрашенная). От неё парабола спускается к вершине, а потом уходит вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -4$: прямая $y=x+10$. Строим по двум точкам: при $x=-10$ будет $y=0$, при $x=-6$ будет $y=4$. У точки $x=-4$ прямая обрывается: там $y=-4+10=6$, но само значение $x=-4$ этому куску уже не принадлежит, поэтому $(-4;6)$ — выколотая точка. Значит левый луч принимает все значения строго меньше $6$, причём каждое ровно по одному разу.

Теперь двигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения.

• С лучом: одна точка при $m\lt 6$, ни одной при $m\geq 6$.
• С куском параболы: при $m\lt -2$ точек нет; при $m=-2$ одна (сама вершина); при $-2\lt m\leq -1$ две (одна на спуске от $(-4;-1)$ к вершине, вторая на подъёме); при $m\gt -1$ только одна, потому что левая ветвь параболы уже ушла за границу $x=-4$.

Складываем: при $m\lt -2$ всего $1$ точка; при $m=-2$ выходит $1+1=2$; при $-2\lt m\leq -1$ выходит $1+2=3$; при $-1\lt m\lt 6$ выходит $1+1=2$; при $m\geq 6$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки получаются в двух случаях: когда прямая проходит через вершину параболы, то есть $m=-2$, и когда $m$ лежит строго между $-1$ и $6$.