Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038645

Расстояние между А и В не дано — введём его сами: пусть весь путь равен $2S$ км, тогда каждая половина составляет $S$ км. Позже $S$ сократится: ответ от длины пути не зависит.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля (её и спрашивают). У второго автомобиля первая половина пути пройдена со скоростью на $6$ км/ч меньше, то есть $x-6$ км/ч, а вторая — со скоростью $56$ км/ч.

Время первого: весь путь с одной скоростью, $t_1=\dfrac{2S}{x}$ ч.

Время второго: сумма двух кусков, $t_2=\dfrac{S}{x-6}+\dfrac{S}{56}$ ч.

Выехали одновременно и приехали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{2S}{x}=\dfrac{S}{x-6}+\dfrac{S}{56}$.

Делим обе части на $S$ и на $2$:

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2(x-6)}+\dfrac{1}{112}$.

Умножаем на общий знаменатель $112x(x-6)$:

$112(x-6)=56x+x(x-6)$;

$112x-672=56x+x^2-6x$;

$x^2-62x+672=0$.

Дискриминант: $D=62^2-4\cdot 672=3844-2688=1156$, $\sqrt{D}=34$.

$x=\dfrac{62\pm 34}{2}$, то есть $x=48$ или $x=14$.

По условию скорость первого больше $45$ км/ч, поэтому корень $14$ не подходит. Остаётся $x=48$ км/ч.

Проверка. Возьмём весь путь $336$ км. Первый: $336:48=7$ ч. Второй: $168:(48-6)=168:42=4$ ч и $168:56=3$ ч, вместе $7$ ч. Приехали одновременно — верно.