Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038630

Расстояние между А и В в условии не названо — введём его сами: пусть весь путь равен $2S$ км, тогда каждая половина составляет $S$ км. Буква $S$ потом сократится, ответ от длины пути не зависит.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля (её и спрашивают). У второго автомобиля первая половина пути пройдена со скоростью на $9$ км/ч меньше, то есть $x-9$ км/ч, а вторая — со скоростью $60$ км/ч.

Время первого: он едет весь путь с одной скоростью, $t_1=\dfrac{2S}{x}$ ч.

Время второго: сумма двух кусков, $t_2=\dfrac{S}{x-9}+\dfrac{S}{60}$ ч.

Стартовали одновременно и финишировали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{2S}{x}=\dfrac{S}{x-9}+\dfrac{S}{60}$.

Делим обе части на $S$ и на $2$:

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2(x-9)}+\dfrac{1}{120}$.

Умножаем на общий знаменатель $120x(x-9)$:

$120(x-9)=60x+x(x-9)$;

$120x-1080=60x+x^2-9x$;

$x^2-69x+1080=0$.

Дискриминант: $D=69^2-4\cdot 1080=4761-4320=441$, $\sqrt{D}=21$.

$x=\dfrac{69\pm 21}{2}$, то есть $x=45$ или $x=24$.

По условию скорость первого больше $40$ км/ч, поэтому корень $24$ не подходит. Остаётся $x=45$ км/ч.

Проверка. Возьмём весь путь $360$ км. Первый: $360:45=8$ ч. Второй: $180:(45-9)=180:36=5$ ч и $180:60=3$ ч, вместе $8$ ч. Приехали одновременно — верно.