Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038625

Расстояние между А и В не дано — введём его сами: пусть весь путь равен $2S$ км, тогда каждая половина составляет $S$ км. В конце буква $S$ сократится: ответ от длины пути не зависит.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля (её и спрашивают). У второго автомобиля первая половина пройдена со скоростью $30$ км/ч, а вторая — со скоростью на $9$ км/ч больше скорости первого, то есть $x+9$ км/ч.

Время первого: он едет весь путь с одной скоростью, $t_1=\dfrac{2S}{x}$ ч.

Время второго: складывается из двух кусков, $t_2=\dfrac{S}{30}+\dfrac{S}{x+9}$ ч.

Выехали одновременно и приехали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{2S}{x}=\dfrac{S}{30}+\dfrac{S}{x+9}$.

Делим обе части на $S$:

$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{x+9}$.

Умножаем на общий знаменатель $30x(x+9)$:

$60(x+9)=x(x+9)+30x$;

$60x+540=x^2+9x+30x$;

$x^2-21x-540=0$.

Дискриминант: $D=21^2+4\cdot 540=441+2160=2601$, $\sqrt{D}=51$.

$x=\dfrac{21\pm 51}{2}$, то есть $x=36$ или $x=-15$. Отрицательный корень отбрасываем.

Скорость первого автомобиля равна $36$ км/ч.

Проверка. Возьмём весь путь $180$ км. Первый: $180:36=5$ ч. Второй: $90:30=3$ ч и $90:(36+9)=90:45=2$ ч, вместе $5$ ч. Приехали одновременно — верно.