Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038614

Расстояние между А и В в условии не названо, и это нормально: обозначим его $2S$ км, чтобы каждая половина пути была ровно $S$ км. В конце буква $S$ сократится.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля (её и спрашивают). Тогда у второго автомобиля первая половина пути пройдена со скоростью $x-8$ км/ч, а вторая — со скоростью $90$ км/ч.

Время первого: весь путь с одной скоростью, $t_1=\dfrac{2S}{x}$ ч.

Время второго: складывается из двух кусков, $t_2=\dfrac{S}{x-8}+\dfrac{S}{90}$ ч.

Выехали одновременно и приехали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{2S}{x}=\dfrac{S}{x-8}+\dfrac{S}{90}$.

Делим обе части на $S$ (путь не равен нулю) и на $2$:

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2(x-8)}+\dfrac{1}{180}$.

Умножаем всё на $180x(x-8)$:

$180(x-8)=90x+x(x-8)$;

$180x-1440=90x+x^2-8x$;

$x^2-98x+1440=0$.

Дискриминант: $D=98^2-4\cdot 1440=9604-5760=3844$, $\sqrt{D}=62$.

$x=\dfrac{98\pm 62}{2}$, то есть $x=80$ или $x=18$.

По условию скорость первого больше $75$ км/ч, поэтому корень $18$ не подходит. Остаётся $x=80$ км/ч.

Проверка. Возьмём путь $2S=1440$ км. Первый: $1440:80=18$ ч. Второй: $720:(80-8)=720:72=10$ ч и $720:90=8$ ч, вместе $18$ ч. Приехали одновременно — верно.