Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038596

Расстояние между А и В не дано, но оно одно и то же для обеих машин — обозначим его за $S$ км. Скорость второго автомобиля на первом участке задана через скорость первого, поэтому неизвестной берём скорость первого: пусть это $x$ км/ч.

Первый едет весь путь с постоянной скоростью и тратит $\dfrac{S}{x}$ часов.

Второй проходит две половины по $\dfrac{S}{2}$ км:

• первая половина со скоростью $x-16$ км/ч — время $\dfrac{S}{2(x-16)}$ ч;
• вторая половина со скоростью $96$ км/ч — время $\dfrac{S}{2\cdot 96}=\dfrac{S}{192}$ ч.

Выехали вместе, приехали вместе — времена равны:

$\dfrac{S}{x}=\dfrac{S}{2(x-16)}+\dfrac{S}{192}$.

Сокращаем на $S$: $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x-32}=\dfrac{1}{192}$.

Приводим левую часть к общему знаменателю: $\dfrac{(2x-32)-x}{x(2x-32)}=\dfrac{x-32}{x(2x-32)}$. Значит $192(x-32)=x(2x-32)$, то есть $192x-6144=2x^2-32x$, откуда $2x^2-224x+6144=0$, а после деления на $2$ — $x^2-112x+3072=0$.

Дискриминант: $D=112^2-4\cdot 3072=12544-12288=256$, $\sqrt{D}=16$. Корни: $x=\dfrac{112+16}{2}=64$ и $x=\dfrac{112-16}{2}=48$.

Оба корня положительны, поэтому здесь важен отбор по условию: сказано, что скорость первого больше $60$ км/ч. Значит, $x=48$ не подходит и остаётся $x=64$ км/ч.

Проверка: второй ехал первую половину со скоростью $64-16=48$ км/ч. Пусть $S=192$ км: первый потратит $\dfrac{192}{64}=3$ ч; второй — $\dfrac{96}{48}=2$ ч плюс $\dfrac{96}{96}=1$ ч, тоже $3$ часа.