Задание 21 ОГЭ по математике №00038595

Время в этой задаче спрятано за плотом. У плота нет двигателя, он движется вместе с водой, поэтому его скорость равна скорости течения — $4$ км/ч. Проплыв $52$ км, плот был в пути $\dfrac{52}{4}=13$ часов.

Лодка вышла на час позже плота и к этому моменту уже вернулась в А. Значит, лодка провела в пути $13-1=12$ часов.

Обозначим за $x$ км/ч собственную скорость лодки. Из А в В она идёт по течению со скоростью $x+4$ км/ч, обратно — против течения со скоростью $x-4$ км/ч, и в каждую сторону $90$ км.

Сумма времён равна $12$ часам:

$\dfrac{90}{x+4}+\dfrac{90}{x-4}=12$.

Умножим обе части на $(x+4)(x-4)$: $90(x-4)+90(x+4)=12(x^2-16)$, то есть $180x=12x^2-192$, откуда $12x^2-180x-192=0$. Разделим на $12$: $x^2-15x-16=0$.

Дискриминант: $D=225+64=289$, $\sqrt{D}=17$. Корни: $x=\dfrac{15+17}{2}=16$ и $x=\dfrac{15-17}{2}=-1$. Подходит только $x=16$ км/ч.

Проверка: по течению $\dfrac{90}{20}=4{,}5$ ч, против течения $\dfrac{90}{12}=7{,}5$ ч, вместе $12$ часов — как раз время лодки в пути.