Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038586

Расстояние между А и В не дано, но оно одинаково для обеих машин — обозначим его за $S$ км. Скорость второго автомобиля на втором участке выражена через скорость первого, поэтому неизвестной удобно взять именно скорость первого: пусть это $x$ км/ч.

Первый едет весь путь с постоянной скоростью и тратит $\dfrac{S}{x}$ часов.

Второй едет двумя половинами по $\dfrac{S}{2}$ км:

• первая половина со скоростью $55$ км/ч — время $\dfrac{S}{2\cdot 55}=\dfrac{S}{110}$ ч;
• вторая половина со скоростью $x+6$ км/ч — время $\dfrac{S}{2(x+6)}$ ч.

Выехали одновременно и приехали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{S}{x}=\dfrac{S}{110}+\dfrac{S}{2(x+6)}$.

Сокращаем на $S$ (длина пути на ответ не влияет):

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x+12}=\dfrac{1}{110}$.

Слева приводим к общему знаменателю: $\dfrac{(2x+12)-x}{x(2x+12)}=\dfrac{x+12}{x(2x+12)}$. Значит $110(x+12)=x(2x+12)$, то есть $110x+1320=2x^2+12x$, откуда $2x^2-98x-1320=0$, а после деления на $2$ — $x^2-49x-660=0$.

Дискриминант: $D=49^2+4\cdot 660=2401+2640=5041$, $\sqrt{D}=71$. Корни: $x=\dfrac{49+71}{2}=60$ и $x=\dfrac{49-71}{2}=-11$. Скорость положительна, значит $x=60$ км/ч.

Проверка: второй ехал вторую половину со скоростью $66$ км/ч. Пусть $S=660$ км: первый потратит $\dfrac{660}{60}=11$ ч; второй — $\dfrac{330}{55}=6$ ч плюс $\dfrac{330}{66}=5$ ч, тоже $11$ часов.