Задание 21 ОГЭ по математике №00038584

Сначала разберёмся со временем — в этой задаче оно спрятано за плотом. Плот не имеет собственного двигателя, он просто плывёт по течению, значит его скорость равна скорости реки: $3$ км/ч. Раз он проплыл $48$ км, он был в пути $\dfrac{48}{3}=16$ часов.

Лодка отправилась на час позже плота и вернулась в А как раз к этому моменту. Значит, лодка находилась в пути $16-1=15$ часов.

Теперь обозначим за $x$ км/ч собственную скорость лодки. По течению (из А в В) она идёт со скоростью $x+3$ км/ч, обратно, против течения, — со скоростью $x-3$ км/ч. В каждую сторону $108$ км.

Складываем времена и приравниваем к $15$ часам:

$\dfrac{108}{x+3}+\dfrac{108}{x-3}=15$.

Умножим обе части на $(x+3)(x-3)$: $108(x-3)+108(x+3)=15(x^2-9)$, то есть $216x=15x^2-135$, откуда $15x^2-216x-135=0$. Разделим на $3$: $5x^2-72x-45=0$.

Дискриминант: $D=72^2+4\cdot 5\cdot 45=5184+900=6084$, $\sqrt{D}=78$. Корни: $x=\dfrac{72+78}{10}=15$ и $x=\dfrac{72-78}{10}=-0{,}6$. Отрицательный корень отбрасываем, остаётся $x=15$ км/ч.

Проверка: по течению $\dfrac{108}{18}=6$ ч, против течения $\dfrac{108}{12}=9$ ч, вместе $15$ часов — как раз столько лодка и была в пути.