Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00038576

Расстояние между А и В в условии не дано, но оно одинаково для обоих автомобилей — обозначим его за $S$ км. Скорость второго автомобиля на втором участке задана через скорость первого, поэтому за неизвестную выгодно взять именно скорость первого: пусть это $x$ км/ч.

Тогда весь путь первый едет со скоростью $x$ и тратит $\dfrac{S}{x}$ часов.

Второй автомобиль едет двумя кусками по $\dfrac{S}{2}$ км:

• первая половина со скоростью $78$ км/ч — время $\dfrac{S}{2\cdot 78}=\dfrac{S}{156}$ ч;
• вторая половина со скоростью $x+7$ км/ч — время $\dfrac{S}{2(x+7)}$ ч.

Приехали они одновременно и выехали одновременно, значит времена равны:

$\dfrac{S}{x}=\dfrac{S}{156}+\dfrac{S}{2(x+7)}$.

Величина $S$ есть в каждом слагаемом, поэтому на неё можно сократить (расстояние на ответ не влияет):

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{156}+\dfrac{1}{2(x+7)}$, то есть $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x+14}=\dfrac{1}{156}$.

Слева приведём к общему знаменателю: $\dfrac{(2x+14)-x}{x(2x+14)}=\dfrac{x+14}{x(2x+14)}$. Значит $156(x+14)=x(2x+14)$, то есть $156x+2184=2x^2+14x$, откуда $2x^2-142x-2184=0$, а после деления на $2$ — $x^2-71x-1092=0$.

Дискриминант: $D=71^2+4\cdot 1092=5041+4368=9409$, $\sqrt{D}=97$. Корни: $x=\dfrac{71+97}{2}=84$ и $x=\dfrac{71-97}{2}=-13$. Скорость положительна, значит $x=84$ км/ч.

Проверка: второй ехал вторую половину со скоростью $91$ км/ч. Возьмём $S=156$ км: первый потратит $\dfrac{156}{84}=\dfrac{13}{7}$ ч; второй — $\dfrac{78}{78}=1$ ч плюс $\dfrac{78}{91}=\dfrac{6}{7}$ ч, вместе тоже $\dfrac{13}{7}$ ч.