Задание 21 ОГЭ по математике №00038524

Ищут собственную скорость теплохода — скорость в неподвижной воде. Обозначим её $x$ км/ч, причём $x>5$, иначе против течения теплоход не пройдёт.

По течению река помогает: скорость относительно берега $x+5$ км/ч. Против течения мешает: $x-5$ км/ч.

Всего теплоход отсутствовал $35$ часов, из них $23$ часа заняла стоянка. Значит, на движение туда и обратно ушло $35-23=12$ часов.

Время по течению $\dfrac{80}{x+5}$ ч, время против течения $\dfrac{80}{x-5}$ ч, в сумме — $12$ часов:

$\dfrac{80}{x+5}+\dfrac{80}{x-5}=12.$

Общий знаменатель $(x+5)(x-5)=x^2-25$:

$\dfrac{80(x-5)+80(x+5)}{x^2-25}=12,$

$\dfrac{160x}{x^2-25}=12,$

$160x=12(x^2-25).$

Разделим обе части на $4$: $40x=3(x^2-25)$, то есть $3x^2-40x-75=0$.

Дискриминант: $D=40^2+4\cdot 3\cdot 75=1600+900=2500$, $\sqrt{D}=50$. Корни: $x=\dfrac{40+50}{6}=15$ и $x=\dfrac{40-50}{6}=-\dfrac{5}{3}$.

Отрицательный корень отбрасываем, остаётся $x=15$.

Проверим: по течению $80:20=4$ ч, против течения $80:10=8$ ч, вместе $12$ ч, плюс $23$ часа стоянки — ровно $35$ часов.