Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038494

Раскрывать четвёртую степень бинома — долгий и опасный путь. Присмотрись: выражение (x − 1) входит в чётных степенях — четвёртой и второй. Это прямая подсказка к замене переменной.

Вводим замену. Пусть t = (x − 1)². Тогда (x − 1)⁴ = ((x − 1)²)² = t². Важно: t — квадрат, значит t ≥ 0.

Уравнение становится квадратным: t² − 2t − 3 = 0. Дискриминант D = (−2)² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16, √D = 4, корни t = (2 − 4)/2 = −1 и t = (2 + 4)/2 = 3.

Отбираем по смыслу замены. Значение t = −1 невозможно: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 3.

Возвращаемся к x: (x − 1)² = 3. Извлекаем корень с двумя знаками: x − 1 = √3 или x − 1 = −√3. Отсюда x = 1 + √3 и x = 1 − √3.

Численно: √3 ≈ 1,73, значит корни примерно 2,73 и −0,73.

Проверка. Подставим (x − 1)² = 3: (x − 1)⁴ = 3² = 9, тогда 9 − 2·3 − 3 = 9 − 6 − 3 = 0 — верно, оба корня подходят.