Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038495

Слева сумма двух квадратов, справа ноль. Возводить скобки в квадрат не нужно — получится многочлен четвёртой степени. Всё решает рассуждение о знаках.

Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю только тогда, когда обе они равны нулю.

Значит уравнение равносильно системе: x² − 1 = 0 и одновременно x² − 6x − 7 = 0.

Первое уравнение: x² = 1, откуда x = 1 или x = −1.

Второе уравнение: x² − 6x − 7 = 0, дискриминант D = (−6)² − 4·1·(−7) = 36 + 28 = 64, √D = 8, корни x = (6 − 8)/2 = −1 и x = (6 + 8)/2 = 7.

Пересекаем наборы. Первое уравнение дало {1; −1}, второе — {−1; 7}. Общее значение одно: x = −1.

Проверка. При x = −1: первая скобка 1 − 1 = 0; вторая скобка 1 + 6 − 7 = 0. Сумма квадратов равна 0 — верно. Для сравнения x = 1: первая скобка 0, вторая 1 − 6 − 7 = −12, сумма 0 + 144 = 144 ≠ 0 — не подходит.