Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038493

Слева сумма двух квадратов, справа ноль. Раскрывать квадраты не нужно — вылезет многочлен четвёртой степени. Решает рассуждение о знаках.

Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен: он либо равен нулю, либо больше нуля. Сумма двух неотрицательных величин даёт ноль только в одном случае — когда каждая равна нулю.

Значит уравнение равносильно системе: x² − 25 = 0 и одновременно x² + 3x − 10 = 0.

Первое уравнение: x² = 25, откуда x = 5 или x = −5.

Второе уравнение: x² + 3x − 10 = 0, дискриминант D = 3² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49, √D = 7, корни x = (−3 − 7)/2 = −5 и x = (−3 + 7)/2 = 2.

Пересекаем наборы. Первое уравнение дало {5; −5}, второе — {−5; 2}. Общее значение одно: x = −5.

Проверка. При x = −5: первая скобка 25 − 25 = 0; вторая скобка 25 + 3·(−5) − 10 = 25 − 15 − 10 = 0. Сумма квадратов равна 0 — верно. Для сравнения x = 5: первая скобка 0, вторая 25 + 15 − 10 = 30, сумма 0 + 900 = 900 ≠ 0 — не подходит.