Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038491

Раскрывать четвёртую степень бинома не нужно — утонешь в вычислениях. Присмотрись: выражение (x − 2) встречается в чётных степенях, четвёртой и второй. Это подсказка к замене переменной.

Вводим замену. Пусть t = (x − 2)². Тогда (x − 2)⁴ = ((x − 2)²)² = t². Важное ограничение: t — квадрат, значит t ≥ 0.

Уравнение становится квадратным: t² − t − 6 = 0. Дискриминант D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни t = (1 − 5)/2 = −2 и t = (1 + 5)/2 = 3.

Отбираем по смыслу замены. Значение t = −2 не годится: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 3.

Возвращаемся к x: (x − 2)² = 3. Извлекаем корень с двумя знаками: x − 2 = √3 или x − 2 = −√3. Отсюда x = 2 + √3 и x = 2 − √3.

Численно: √3 ≈ 1,73, значит корни примерно 3,73 и 0,27.

Проверка. Подставим (x − 2)² = 3 в исходное уравнение: (x − 2)⁴ = 3² = 9, тогда 9 − 3 − 6 = 0 — верно, оба корня подходят.