ID: 00038440
Источник: ФИПИ
Слева — произведение линейной скобки и квадратного трёхчлена, справа ноль. Раскрывать скобки не нужно: получится кубический многочлен. Разложим трёхчлен на линейные множители и посмотрим на знаки.
Раскладываем трёхчлен. Решаем x² + 4x − 21 = 0: дискриминант D = 4² − 4·1·(−21) = 16 + 84 = 100, √D = 10, корни x = (−4 − 10)/2 = −7 и x = (−4 + 10)/2 = 3. Значит x² + 4x − 21 = (x − 3)(x + 7).
Неравенство принимает вид: (3 − x)(x − 3)(x + 7) ≥ 0.
Ключевой шаг. Скобка (3 − x) — это (x − 3) с обратным знаком: 3 − x = −(x − 3). Подставляем: −(x − 3)(x − 3)(x + 7) ≥ 0, то есть −(x − 3)²(x + 7) ≥ 0. Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак: (x − 3)²(x + 7) ≤ 0.
Множитель (x − 3)² — квадрат, а квадрат не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 3), либо строго положителен. Знак произведения он не меняет, но даёт отдельную точку-решение.
Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0, произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 3 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, делим на него обе части, знак сохраняется: x + 7 ≤ 0, откуда x ≤ −7.
Проверка по точкам для исходного выражения (3 − x)(x² + 4x − 21): при x = −8 → 11·(64 − 32 − 21) = 11·11 = 121 > 0 — подходит; при x = 0 → 3·(−21) = −63 < 0 — не подходит; при x = 4 → (−1)·(16 + 16 − 21) = (−1)·11 = −11 < 0 — не подходит; при x = 3 → 0 — подходит. Всё сходится.
Ответ складывается из луча левее −7 (с самой точкой −7) и отдельной точки 3.