Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038486

Раскрывать четвёртую степень бинома — гарантированное болото. Присмотрись: одно и то же выражение (x + 4) встречается в чётных степенях — четвёртой и второй. Это прямая подсказка к замене переменной.

Вводим замену. Пусть t = (x + 4)². Тогда (x + 4)⁴ = ((x + 4)²)² = t². Важно: t — это квадрат, значит t ≥ 0.

Уравнение становится квадратным: t² − 6t − 7 = 0. Дискриминант D = (−6)² − 4·1·(−7) = 36 + 28 = 64, √D = 8, корни t = (6 − 8)/2 = −1 и t = (6 + 8)/2 = 7.

Отбираем корни по смыслу замены. Значение t = −1 не годится: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 7.

Возвращаемся к x: (x + 4)² = 7. Извлекаем корень с двумя знаками: x + 4 = √7 или x + 4 = −√7. Отсюда x = −4 + √7 и x = −4 − √7.

Численно: √7 ≈ 2,65, значит корни примерно −1,35 и −6,65.

Проверка. Подставим (x + 4)² = 7 в исходное уравнение: (x + 4)⁴ = 7² = 49, тогда 49 − 6·7 − 7 = 49 − 42 − 7 = 0 — верно, оба корня подходят.