ID: 00038483
Источник: ФИПИ
Уравнение третьей степени — готовой формулы корней для него нет. Спасает метод группировки: собрать слагаемые в пары так, чтобы после вынесения общих множителей осталась одинаковая скобка.
Переносим всё влево: x³ + 3x² − 16x − 48 = 0.
Группируем: (x³ + 3x²) − (16x + 48) = 0. Минус перед второй скобкой меняет знаки внутри неё — проверь: −(16x + 48) = −16x − 48, всё верно.
Выносим общий множитель из каждой пары. Из первой пары x²: x³ + 3x² = x²(x + 3). Из второй пары 16: 16x + 48 = 16(x + 3). Получаем x²(x + 3) − 16(x + 3) = 0.
Выносим общую скобку: (x + 3)(x² − 16) = 0. Вторая скобка — разность квадратов: x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Итого (x + 3)(x − 4)(x + 4) = 0.
Приравниваем каждый множитель к нулю: x + 3 = 0 → x = −3; x − 4 = 0 → x = 4; x + 4 = 0 → x = −4.
Проверка. При x = −3: слева −27 + 3·9 = −27 + 27 = 0, справа 16·(−3) + 48 = −48 + 48 = 0 — верно. При x = 4: слева 64 + 3·16 = 64 + 48 = 112, справа 16·4 + 48 = 64 + 48 = 112 — верно. При x = −4: слева −64 + 3·16 = −64 + 48 = −16, справа 16·(−4) + 48 = −64 + 48 = −16 — верно. Все три корня подходят.