Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038481

Если раскрыть все скобки, получится кубическое уравнение, а формулы корней для него нет. Значит надо раскладывать на множители — и подсказка спрятана во второй скобке.

Свёртываем полный квадрат. x² + 4x + 4 = (x + 2)² — формула квадрата суммы. Уравнение принимает вид (x − 1)(x + 2)² = 4(x + 2).

Теперь множитель (x + 2) стоит и слева, и справа. Переносим всё влево: (x − 1)(x + 2)² − 4(x + 2) = 0. Сокращать на (x + 2) нельзя — потеряется корень; выносим его за скобку: (x + 2)·[(x − 1)(x + 2) − 4] = 0.

Упрощаем квадратную скобку. (x − 1)(x + 2) = x² + 2x − x − 2 = x² + x − 2. Вычитаем 4: x² + x − 2 − 4 = x² + x − 6. Итого (x + 2)(x² + x − 6) = 0.

Приравниваем множители к нулю. Первый: x + 2 = 0 → x = −2. Второй: x² + x − 6 = 0, дискриминант D = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни x = (−1 − 5)/2 = −3 и x = (−1 + 5)/2 = 2.

Проверка. При x = −2: слева (−2 − 1)·(4 − 8 + 4) = (−3)·0 = 0, справа 4·0 = 0 — верно. При x = −3: слева (−4)·(9 − 12 + 4) = (−4)·1 = −4, справа 4·(−1) = −4 — верно. При x = 2: слева 1·(4 + 8 + 4) = 16, справа 4·4 = 16 — верно. Все три корня подходят.