Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038477

Кубическое уравнение — формулы корней для него в школе нет. Зато слагаемых ровно четыре, а это верный признак того, что сработает группировка.

Группируем по парам: (x³ + 4x²) − (4x + 16) = 0. Проверим знаки: −(4x + 16) = −4x − 16 — совпадает с исходным уравнением.

Выносим общий множитель из каждой пары. Из первой пары x²: x³ + 4x² = x²(x + 4). Из второй пары 4: 4x + 16 = 4(x + 4). Получаем x²(x + 4) − 4(x + 4) = 0.

Выносим общую скобку: (x + 4)(x² − 4) = 0. Вторая скобка — разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Итого (x + 4)(x − 2)(x + 2) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x + 4 = 0 → x = −4; x − 2 = 0 → x = 2; x + 2 = 0 → x = −2.

Проверка. При x = −4: −64 + 4·16 + 16 − 16 = −64 + 64 = 0 — верно. При x = 2: 8 + 4·4 − 8 − 16 = 8 + 16 − 8 − 16 = 0 — верно. При x = −2: −8 + 4·4 + 8 − 16 = −8 + 16 + 8 − 16 = 0 — верно. Все три корня подходят.